有限数学示例

$\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (2 x + 1) + \ln (x) = 2$

解题步骤 2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ((2 x + 1) x) = 2$

解题步骤 3

运用分配律。

$\ln (2 x \cdot x + 1 x) = 2$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $x$ 。

$\ln (2 (x \cdot x) + 1 x) = 2$

解题步骤 4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (2 x^{2} + 1 x) = 2$

解题步骤 5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2 x^{2} + x) = 2$

解题步骤 6

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (2 x^{2} + x)} = e^{2}$

解题步骤 7

使用对数的定义将 $\ln (2 x^{2} + x) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{2} = 2 x^{2} + x$

解题步骤 8

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $2 x^{2} + x = e^{2}$ 。

$2 x^{2} + x = e^{2}$

解题步骤 8.2

从等式两边同时减去 $e^{2}$ 。

$2 x^{2} + x - e^{2} = 0$

解题步骤 8.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 8.4

将 $a = 2$ 、 $b = 1$ 和 $c = - e^{2}$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

化简分子。

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解题步骤 8.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 8.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.5.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

解题步骤 8.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

解题步骤 9

排除不能使 $\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$ 成立的解。

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

小数形式：

$x = 1.68830545 \dots$

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